Mathematik

GRUNDLAGENFACH

1. Bildungsziele

Der Mathematikunterricht gibt Einblicke in die Mathematik als eigenständige Diszi­plin. Die Schülerinnen und Schüler erfahren, wie sich die Mathematik zur Er­klärung alltäglicher Phänomene und zur Beantwortung wissenschaftlicher Fragen nutzen lässt. Exemplarisch zeigt der Mathematik-unterricht Bezüge zwischen der Ideengeschichte der Mathematik und der Kulturgeschichte auf.

Ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichtes ist die Förderung der Fähigkeit, ab­strakte Probleme mit Hilfe des eigenen Denkens zu analysieren und zu lösen. Dazu schult er das exakte und kritische Denken und das folgerichtige Schliessen und De­duzieren. Er fördert die Intuition, das kreative Denken, den präzisen Sprachge­brauch und das selbständige Handeln.

Am MNG Rämibühl vermittelt der Mathematikunterricht in hohem Mass die Kennt­nisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die für mathematisch anspruchsvolle Hoch­schulstudien verlangt werden. Er fördert das Interesse und das Verständnis für Be­rufe, in denen mathematische Denkweisen und Werkzeuge eingesetzt werden.

2. Richtziele

Grundkenntnisse

  • die mathematischen Grundbegriffe, Arbeitsmethoden und Ergebnisse der elementaren Algebra, Analysis, Geometrie und Stochastik kennen
  • heuristische, induktive und deduktive Methoden kennen
  • wichtige Etappen der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik und ihrer heutigen Bedeutung kennen

Grundfertigkeiten

  • mathematische Objekte und Beziehungen erkennen und einordnen
  • Analogien erkennen und auswerten
  • Probleme erfassen und mathematisieren, mathematische Modelle entwickeln und beurteilen sowie deren Möglichkeiten und Grenzen erkennen
  • mathematische Modelle in anderen Schulfächern nutzen und anwenden
  • geometrische Situationen erfassen, darstellen, konstruieren und abbilden
  • elementare Beweismethoden anwenden
  • die Fach- und Formelsprache sowie wichtige Rechentechniken beherrschen
  • Hilfsmittel zweckmässig anwenden
  • mathematische Sachverhalte mündlich und schriftlich korrekt darstellen

Grundhaltungen

  • der Mathematik positiv begegnen, ihre Stärken und Grenzen kennen
  • mit Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten bereit sein, allein und in der Gruppe mathematische Probleme zu lösen
  • offen sein für Verbindungen zu anderen Wissensbereichen
  • eine kritische und selbstkritische Haltung einnehmen

3. Grobziele

Ziele 1. und 2. Klasse

Zahlenbereiche

  • Kenntnis der Darstellungsarten und Eigenschaften von reellen Zahlen
  • Sicherheit im Umgang mit Zahlen

Algebra

  • Sicherheit im Umformen von Termen und im Lösen von Glei­chungen und Ungleichungen
  • Fähigkeit, Aufgaben aus dem Alltag und aus der Geometrie zu algebraisieren
  • die Nützlichkeit der Formelsprache einsehen

Diskrete Modellierung von Prozessen

  • Förderung des algorithmischen Denkens
  • Fähigkeit, einfache Modelle zu entwickeln, zu beurteilen und anzuwenden
  • intuitives Verständnis des Grenzwertbegriffes und der damit ver­bundenen Problematik

Funktionen

  • funktionale Zusammenhänge erkennen, beschreiben, darstellen und interpretieren können
  • Kenntnis der Definitionen und Eigenschaften grundlegender Funktionen

Planimetrie

  • Verständnis entwickeln für die Notwendigkeit einer exakten Be­griffsbildung und das Führen von Beweisen
  • Sicherheit gewinnen im Analysieren geometrischer Problemstel­lungen und im anschliessenden Konstruieren
  • Lernen, Vermutungen aufzustellen, sie zu beweisen oder zu wi­derlegen
  • kongruente und ähnliche Figuren erkennen und ihre Beziehun­gen ausnützen können

Trigonometrie

  • Kenntnis der trigonometrischen Funktionen und ihrer Beziehun­gen
  • Fähigkeit, die trigonometrischen Funktionen in verschiedensten Situationen anwenden zu kön­nen

Stereometrie

  • Methoden zur Volumen- und Oberflächenberechnung kennen­lernen
  • räumliche Situationen erfassen und darstellen

Inhalte 1. und 2. Klasse

Zahlenbereiche

  • natürliche, ganze und rationale Zahlen; Grundoperationen
  • Quadratwurzeln; Irrationalität; reelle Zahlen

Algebra

  • Rechnen mit algebraischen Ausdrücken
  • lineare und quadratische Gleichungen und Ungleichungen; Gleichungen mit Parametern
  • lineare Gleichungssysteme; ausgewählte nichtlineare Gleichungssysteme
  • Potenzen mit ganzen, rationalen und reellen Exponenten; Potenzgesetze
  • Logarithmen; Logarithmengesetze
  • Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen

Diskrete Modellierung von Prozessen

  • Formalisieren und Simulieren von Prozessen, insbesondere von Wachstums- und Zerfallsprozessen
  • explizite und rekursive Darstellung von Folgen und Reihen
  • arithmetische und geometrische Folgen und Reihen
  • vollständige Induktion
  • Grenzwerte von Folgen und Reihen (intuitiv/anschaulich)
  • Anwendungen und Aufgaben z.B. zu Zahlentheorie, Fraktalen, Finanzmathematik, Flächen- und Volumenberechnungen, Näherungsverfahren (Vertiefung in der 3. oder 4. Klasse)

Funktionen

  • Funktionsbegriff
  • direkte und indirekte Proportionalitäten
  • lineare und quadratische Funktionen
  • trigonometrische Funktionen
  • Potenzfunktionen
  • Exponential- und Logarithmusfunktionen

Planimetrie

  • Kongruenzgeometrie: geometrische Orte, Konstruktionsaufgaben (Dreiecke, Vierecke, Kreise)
  • Satzgruppe des Pythagoras
  • Ähnlichkeitsgeometrie: Zentrische Streckung, Strahlensätze, Ähnlichkeit von Figuren
  • Folgerungen aus Ähnlichkeitsbeziehungen
  • Berechnungen am Kreis
  • Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen
  • Kegelschnitte (exemplarisch)

Trigonometrie

  • Definition der trigonometrischen Funktionen
  • Bogenmass
  • Sinus- und Cosinussatz
  • elementare Beziehungen zwischen den Funktionen; Additionstheoreme

Stereometrie

  • Berechnungen an Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel

Ziele 3. und 4. Klasse

Differential- und Integralrechnung

  • intuitives und formales Verständnis für infinitesimale Prozesse
  • Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren ver­stehen
  • Sicherheit im Umgang mit den Regeln der Differentialrechnung
  • die Infinitesimalrechnung in verschiedensten Anwendungen ein­setzen können

Komplexe Zahlen

  • formale und begriffliche Schwierigkeiten bei der Einführung der komplexen Zahlen sehen
  • sicherer Umgang mit komplexen Zahlen
  • Bedeutung der komplexen Zahlen erkennen

Stochastik

  • Kenntnis grundlegender Skalen, Lage- und Streumasse
  • mathematische Modelle für Zufallsexperimente aufstellen können, Grenzen dieser Modelle kennen
  • die Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung beherrschen und die Resultate interpretieren können
  • Kenntnis grundlegender Begriffe der beurteilenden Statistik (Testen und Schätzen)
  • Beherrschen grundlegender Vorgehensweisen der beurteilenden Statistik

Vektorgeometrie

  • Kenntnis vektorieller und analytischer Darstellungsarten von Raumelementen
  • Sicherheit im Umgang mit Vektoren
  • Vektoren in den verschiedensten Bereichen einsetzen können

Inhalte 3. und 4. Klasse

Differential- und Integralrechnung

  • Differenzen- und Differentialquotient, geometrische und physi­kalische Bedeutungen der Ableitung
  • Ableitungsregeln; Ableitungen elementarer Funktionen
  • Stammfunktion, unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral
  • numerische Verfahren zur Berechnung bestimmter Integrale
  • der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung
  • Differentialgleichungen*
  • Anwendungen und Aufgaben z.B. zu Flächen- und Volumenberechnungen, Extremalaufgaben, Krümmung, Kurven in kartesischer Form, Parameterdarstellung und Polarform, Ortskurven, Hüllkurven, Newtonsches Verfahren

* Nur für Schülerinnen und Schüler mit Schwerpunktfach Biologie/Chemie. Schülerinnen und Schüler mit Schwerpunktfach Physik/Anwendungen der Mathematik behandeln dieses Thema ausführlicher im Rahmen des Faches Anwendungen der Mathematik.

Komplexe Zahlen

  • Normal- und Polarform
  • Grundoperationen; Radizieren
  • Abbildungen in der komplexen Zahlenebene
  • algebraische Gleichungen

Stochastik

  • beschreibende Statistik: klassische und robuste Lagemasse, Histogramm, Box-Plot
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundbegriffe und Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrech­nung, ein- und mehrstufige Zufallsversuche, Laplace-Modelle, Zufallsvariable, Verteilung, Erwartungswert, Varianz
  • beurteilende Statistik: Vertrauensbereich, Hypothesentest, Vierfeldertest, Wilcoxontest

Vektorgeometrie

  • Grundbegriffe, Grundoperationen
  • skalares und vektorielles Produkt
  • Gerade, Ebene und Kugel: Lageaufgaben, metrische Aufgaben
  • Anwendungen und Aufgaben z.B. zu Kegel und Zylinder und ihren ebenen Schnitten, sphärischer Tri­gonometrie, Vektoranalysis*, Projektionen

*) Nur für Schülerinnen und Schüler mit Schwerpunktfach Biologie/Chemie. Schülerinnen und Schüler mit Schwerpunktfach Physik/Anwendungen der Mathematik behandeln dieses Thema ausführlicher im Rahmen des Faches Anwendungen der Mathematik.